Πολλοί άνθρωποι θεωρούν τα μαθηματικά αποθαρρυντικά. Αν είναι αλήθεια, αυτό το κομμάτι είναι για εσάς. Αν όχι, αυτό το κομμάτι είναι ακόμα για εσάς.

Τι σκέφτεστε όταν σκέφτεστε τα μαθηματικά; Perhapsσως σκέφτεστε τα x και y, δυσεπίλυτα κλάσματα ή ανόητα προβλήματα λέξεων. Ο σκιτσογράφος Gary Larson κάποτε απεικόνισε τη βιβλιοθήκη της κόλασης ότι περιέχει μόνο γιγάντιους τόμους από προβλήματα λέξης. Ξέρετε, "Αν ένα τρένο φύγει από τη Νέα Υόρκη ..."

Εκπαιδεύτηκα ως μαθηματικός και θα σας αφήσω να μπει σε ένα εμπορικό μυστικό: Δεν είναι αυτό που είναι τα μαθηματικά, ούτε το πού ζουν. Είναι αλήθεια ότι η εκμάθηση μαθηματικών περιλαμβάνει συχνά την επίλυση προβλημάτων, αλλά θα πρέπει να επικεντρώνεται στη χαρά της επίλυσης γρίφων και όχι στην απομνημόνευση κανόνων.

Σας προσκαλώ να δείτε τον εαυτό σας ως επίλυση προβλημάτων και μαθηματικό. Και θα ήθελα να σας παρουσιάσω τον άνθρωπο που κάποτε με κάλεσε στη μελέτη της επίλυσης προβλημάτων: τον Γιώργο Πόλια.

Ο τρόπος των Μαθηματικών Πόλια

Για πολλούς λόγους, ο πιο σημαντικός από τους οποίους είναι αυτή η Pólya έχασαν τη ζωή τους το 1985, θα τον γνωρίσετε όπως και εγώ - μέσω της άκρως επιτυχημένης του «Πώς να το λύσετε. » Γράφτηκε το 1945, το βιβλίο αυτό πούλησε πάνω από ένα εκατομμύριο αντίτυπα και μεταφράστηκε σε 17 γλώσσες.

Ως μαθηματικός, η Pólya εργάστηκε σε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένης της μελέτης της ευρετικής ή του τρόπου επίλυσης προβλημάτων. Όταν διαβάζετε "Πώς να το λύσετε", αισθάνεστε σαν να κάνετε μια ξενάγηση στο μυαλό της Πόλια. Αυτό συμβαίνει επειδή η γραφή του είναι μεταγνωστική - γράφει για το πώς σκέφτεται για τη σκέψη. Και η μεταγνώση είναι συχνά η καρδιά της επίλυσης προβλημάτων.

Το σχέδιο επίλυσης προβλημάτων της Pólya αναλύεται σε τέσσερα απλά βήματα:

1. Βεβαιωθείτε ότι έχετε καταλάβει το πρόβλημα.

2. Κάντε ένα σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος.

3. Εκτελέστε το σχέδιο.

4. Ελέγξτε την εργασία σας για να δοκιμάσετε την απάντησή σας.

Εκεί είναι. Επίλυση προβλημάτων στην παλάμη - τα μαθηματικά μειώνονται σε τέσσερα βήματα.

Εδώ υπάρχει ένα κλασικό πρόβλημα από την έρευνα για τη μαθηματική εκπαίδευση που πραγματοποίησε ο Jean Lave. Ένας άντρας, ας τον πούμε Γιάννη, φτιάχνει a μια συνταγή που απαιτεί 2/3 φλιτζανιού τυρί cottage. Τι νομίζετε ότι έκανε ο Γιάννης; Τι θα έκανες?

Εάν είστε σαν εμένα, ίσως να βουτήξετε αμέσως σε υπολογισμούς, ίσως παλεύοντας με το τι σημαίνουν τα κλάσματα, προσπαθώντας να θυμηθούμε τους κανόνες αριθμητικής. Αυτό φάνηκε να κάνει ο Τζον, στην αρχή. Μετά όμως είχε μια Εύρηκα! στιγμή.

Ο John μέτρησε 2/3 φλιτζάνι τυρί cottage και μετά το έριξε σε ένα ξύλο κοπής. Χτύπησε το τυρί σε έναν κύκλο και τράβηξε γραμμές μέσα του, μία κάθετη, μια οριζόντια, χωρίζοντας το τυρόπιτα σε τέταρτα. Στη συνέχεια, έσπρωξε προσεκτικά το ένα τέταρτο του τυριού cottage πίσω στο δοχείο του. Voilá! Έμειναν τα τρία τέταρτα των 2/3 φλιτζανιού τυρί cottage.

Ο Τζον είναι μαθηματικός και λύνει προβλήματα. Πρώτον, κατάλαβε το πρόβλημα: Χρειαζόταν ¾ αυτό που απαιτούσε η συνταγή, το οποίο ήταν 2/3 φλιτζανιού. Στη συνέχεια, έκανε ένα σχέδιο, πιθανότατα απεικονίζοντας στο κεφάλι του πώς θα μετρήσει και θα χωρίσει το τυρί cottage. Τελικά, πραγματοποίησε το σχέδιο.

Έλεγξε την απάντησή του; Αυτό παραμένει ασαφές, αλλά μπορούμε να ελέγξουμε την εγκυρότητα της εργασίας του γι 'αυτόν. Μήπως τελικά κατέληξε με ¾ από 2/3 φλιτζάνι τυρί cottage; Ναι, επειδή το πλήρες ποσό μειώθηκε κατά το ένα τέταρτο, αφήνοντας τα τρία τέταρτα.

Μια άλλη προσέγγιση

Θα λειτουργούσε αυτή η λύση με διαφορετικά τρόφιμα ή μερίδες σερβιρίσματος; Όσο ένα άτομο θα μπορούσε να χωρίσει αυτό το σερβίρισμα σε τέταρτα, ναι, το σχέδιο θα λειτουργούσε.

Θα μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα με άλλο τρόπο με το ίδιο αποτέλεσμα; Σίγουρα-υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης αυτού του προβλήματος και όλοι θα πρέπει να έχουν ως αποτέλεσμα την ίδια απάντηση μισού φλιτζανιού. Εδώ είναι ένα.

Πώς να βρείτε τα 3/4 από τα 2/3. Τζένιφερ Ρούφ, CC BY

Παρατηρήστε ότι αυτή η λύση χρησιμοποιεί εικόνες. Νέα έρευνα στον εγκέφαλο επικυρώνει αυτό που λένε οι εκπαιδευτικοί μαθηματικών εδώ και δεκαετίες: Οι εικόνες μας βοηθούν να σκεφτούμε. Η σχεδίαση εικόνων είναι επίσης μια άλλη από τις προτάσεις της Pólya.

Ο John πιθανότατα χρησιμοποίησε μία από τις σημαντικότερες προτάσεις της Pólya: Μπορείτε να σκεφτείτε ένα σχετικό πρόβλημα;

Φυσικά, αυτό είναι ένα τυχερό πρόβλημα - συγγνώμη, πραγματικά δεν προσπάθησα καν να καταπολεμήσω αυτό το λογοπαίγνιο - το οποίο είναι ένα συνηθισμένο παράπονο για προβλήματα ιστορίας. Το επέλεξα επειδή ενθουσίασε τους μαθηματικούς ερευνητές εδώ και χρόνια και επειδή ο Τζον είναι αρκετά έξυπνος στη λύση του. Είναι επίσης εξαιρετικά μαθηματικός.

Έχω διδάξει μαθηματικά και πώς να διδάξω μαθηματικά, για σχεδόν 30 χρόνια. Για πάνω από μια δεκαετία, ήταν δουλειά μου να πείσω τους πρωτοετείς του λυκείου όχι μόνο ότι η άλγεβρα είχε νόημα, αλλά ότι προοριζόταν για αυτούς, και αυτοί για αυτό. Στη δουλειά μου, έχω γνωρίσει πολλούς ανθρώπους που αγαπούν τα μαθηματικά και πολλούς που τα βρίσκουν συντριπτικά και ανόητα. Και έτσι είναι ένα σημαντικό μέρος της δουλειάς μου να βοηθήσω τους ανθρώπους να δουν την ομορφιά και το θαύμα των μαθηματικών και να θεωρούν τους εαυτούς τους μαθηματικούς.

Αυτοί μηνύματα είναι ιδιαίτερα σημαντικά για τους γονείς που βοηθούν τα παιδιά να μάθουν μαθηματικά. Αν καταλαβαίνετε το πρόβλημα που προσπαθείτε να λύσετε, είστε σε καλό δρόμο για να το λύσετε. Και εσείς, ναι, είστε επιλυτής προβλημάτων.

Όλοι γνωρίζουμε ότι δεν είναι πάντα τόσο απλό να λύσουμε προβλήματα. Το έκανε και η Πόλια. Αυτή είναι η δόξα - η ακατάστατη, υπέροχη, δυνατή περιπέτεια.

Σχετικά με το Συγγραφέας

Jennifer Ruef, Επίκουρη Καθηγήτρια Εκπαιδευτικών Σπουδών, Πανεπιστήμιο του Όρεγκον

Αυτό το άρθρο δημοσιεύθηκε αρχικά στις Η Συνομιλία. Διαβάστε το αρχικό άρθρο.

Σχετικές Βιβλία:

at InnerSelf Market και Amazon