Πόσα λιοντάρια χρειάζεται για να σκοτώσει ένα αρνί; Η απάντηση δεν είναι τόσο απλή όσο νομίζετε. Όχι, τουλάχιστον, σύμφωνα με τη θεωρία του παιχνιδιού.

Θεωρία παιχνιδιών είναι ένας κλάδος μαθηματικών που μελετά και προβλέπει τη λήψη αποφάσεων. Συχνά συνεπάγεται τη δημιουργία υποθετικών σεναρίων ή «παιχνιδιών», όπου ένας αριθμός ατόμων που ονομάζονται «παίκτες» ή «πράκτορες» μπορούν να επιλέξουν από ένα καθορισμένο σύνολο ενεργειών σύμφωνα με μια σειρά κανόνων. Κάθε δράση θα έχει «αποπληρωμή» και ο στόχος είναι συνήθως να βρεθεί το μέγιστο κέρδος για κάθε παίκτη, προκειμένου να υπολογίσει πώς θα συμπεριφερόταν πιθανότατα.

Αυτή η μέθοδος έχει χρησιμοποιηθεί σε μια ευρεία ποικιλία θεμάτων, συμπεριλαμβανομένων οικονομία, βιολογία, πολιτική και ψυχολογία, και για να εξηγήσει τη συμπεριφορά σε δημοπρασίες, ψηφοφορία και ανταγωνισμό στην αγορά Όμως, η θεωρία των παιχνιδιών, χάρη στη φύση της, έχει δημιουργήσει επίσης μερικά διασκεδαστικά πειράγματα εγκεφάλου.

Ένα από τα λιγότερο διάσημα από αυτά τα παζλ περιλαμβάνει την επεξεργασία του τρόπου με τον οποίο οι παίκτες θα ανταγωνίζονται για πόρους, στην περίπτωση αυτή πεινασμένα λιοντάρια και ένα νόστιμο αρνί. Μια ομάδα λιονταριών ζει σε ένα νησί καλυμμένο με γρασίδι αλλά χωρίς άλλα ζώα. Τα λιοντάρια είναι πανομοιότυπα, απόλυτα λογικά και γνωρίζουν ότι όλα τα άλλα είναι λογικά. Γνωρίζουν επίσης ότι όλα τα άλλα λιοντάρια γνωρίζουν ότι όλα τα άλλα είναι λογικά και ούτω καθεξής. Αυτή η αμοιβαία συνειδητοποίηση είναι αυτό που αναφέρεται ως «κοινή γνώση". Διασφαλίζει ότι κανένα λιοντάρι δεν θα πάρει την ευκαιρία ή θα προσπαθούσε να ξεπεράσει τους άλλους.

Φυσικά, τα λιοντάρια είναι πολύ πεινασμένα, αλλά δεν προσπαθούν να πολεμήσουν το ένα το άλλο, επειδή είναι πανομοιότυπα στη φυσική τους δύναμη και έτσι αναπόφευκτα όλα θα καταλήξουν νεκρά. Καθώς όλα είναι απόλυτα λογικά, κάθε λιοντάρι προτιμά μια πεινασμένη ζωή από έναν ορισμένο θάνατο. Χωρίς εναλλακτική λύση, μπορούν να επιβιώσουν τρώγοντας μια ουσιαστικά απεριόριστη παροχή χόρτου, αλλά όλοι θα προτιμούσαν να καταναλώνουν κάτι πιο λιτό.

Μια μέρα, ένα αρνί εμφανίζεται θαυμαστικά στο νησί. Τι ατυχές πλάσμα φαίνεται. Ωστόσο, στην πραγματικότητα έχει την πιθανότητα να επιβιώσει από αυτήν την κόλαση, ανάλογα με τον αριθμό των λιονταριών (που αντιπροσωπεύεται από το γράμμα Ν). Αν κάποιο λιοντάρι καταναλώσει το ανυπεράσπιστο αρνί, θα γίνει πολύ γεμάτο για να αμυνθεί από τα άλλα λιοντάρια.

Υποθέτοντας ότι τα λιοντάρια δεν μπορούν να μοιραστούν, η πρόκληση είναι να δούμε αν το αρνί θα επιβιώσει ανάλογα με την αξία του Ν. Ή, για να το θέσουμε με άλλο τρόπο, ποια είναι η καλύτερη πορεία δράσης για κάθε λιοντάρι - να φάει το αρνί ή όχι να τρώτε το αρνί - ανάλογα με το πόσα άλλα υπάρχουν στην ομάδα.

Η λύση

Αυτός ο τύπος προβλήματος θεωρίας παιχνιδιού, όπου πρέπει να βρείτε μια λύση για μια γενική τιμή του Ν (όπου το Ν είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός), είναι ένας καλός τρόπος για να δοκιμάσετε τη λογική των θεωρητικών παιχνιδιών και να δείξετε πώς λειτουργεί η αντίστροφη επαγωγή. Η λογική επαγωγή περιλαμβάνει τη χρήση αποδεικτικών στοιχείων για να σχηματίσει ένα συμπέρασμα που πιθανότατα ισχύει. Επαγωγή προς τα πίσω είναι ένας τρόπος εξεύρεσης μιας σαφώς καθορισμένης απάντησης σε ένα πρόβλημα επιστρέφοντας, βήμα προς βήμα, στην πολύ βασική περίπτωση, η οποία μπορεί να λυθεί με ένα απλό λογικό επιχείρημα.

Στο παιχνίδι των λιονταριών, η βασική περίπτωση θα ήταν N = 1. Αν υπήρχε μόνο ένα πεινασμένο λιοντάρι στο νησί, δεν θα δίσταζε να φάει το αρνί, αφού δεν υπάρχουν άλλα λιοντάρια που να τα ανταγωνίζονται.

Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει στην περίπτωση N = 2. Και τα δύο λιοντάρια καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι εάν ένα από αυτά τρώει το αρνί και γίνει πολύ γεμάτο για να υπερασπιστεί τον εαυτό του, θα το φάει το άλλο λιοντάρι. Ως αποτέλεσμα, κανένας από τους δύο δεν θα προσπαθούσε να φάει το αρνί και και τα τρία ζώα θα ζούσαν ευτυχώς μαζί τρώγοντας χόρτο στο νησί (εάν ζουν μια ζωή που εξαρτάται αποκλειστικά από τον ορθολογισμό των δύο πεινασμένων λιονταριών μπορεί να χαρακτηριστεί ευτυχισμένος).

Για το N = 3, εάν κάποιο από τα λιοντάρια τρώει το αρνί (ουσιαστικά γίνεται το ίδιο το αμυντικό αρνί), θα μειώσει το παιχνίδι στο ίδιο σενάριο με το N = 2, στο οποίο κανένα από τα εναπομείναντα λιοντάρια δεν θα προσπαθήσει να καταναλώσει το πρόσφατα ανυπεράσπιστο λιοντάρι. Έτσι, το λιοντάρι που είναι πιο κοντά στο πραγματικό αρνί, το τρώει και τρία λιοντάρια παραμένουν στο νησί χωρίς να προσπαθούν να σκοτώσουν ο ένας τον άλλον.

Και για το N = 4, εάν κάποιο από τα λιοντάρια τρώνε το αρνί, θα μείωνε το παιχνίδι στο σενάριο N = 3, που θα σήμαινε ότι το λιοντάρι που έφαγε το αρνί θα κατέληγε να το φάει. Καθώς κανένα από τα λιοντάρια δεν θέλει να συμβεί αυτό, αφήνουν το αρνί μόνο.

Ουσιαστικά, το αποτέλεσμα του παιχνιδιού αποφασίζεται από τη δράση του λιονταριού που βρίσκεται πιο κοντά στο αρνί. Για κάθε ακέραιο Ν, το λιοντάρι συνειδητοποιεί ότι η κατανάλωση του αρνιού θα μειώσει το παιχνίδι στην περίπτωση του Ν-1. Εάν η θήκη Ν-1 έχει ως αποτέλεσμα την επιβίωση του αρνιού, το πλησιέστερο λιοντάρι το τρώει. Διαφορετικά, όλα τα λιοντάρια αφήνουν το αρνί να ζήσει. Έτσι, ακολουθώντας τη λογική πίσω στη βασική θήκη κάθε φορά, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το αρνί θα τρώγεται πάντα όταν το Ν είναι μονός αριθμός και θα επιβιώνει όταν το Ν είναι ζυγό.

Σχετικά με το Συγγραφέας

Amirlan Seksenbayev, Υποψήφιος Διδακτορικός στις Μαθηματικές Επιστήμες, Πιθανότητες και Εφαρμογές, Πανεπιστήμιο Queen Mary του Λονδίνου

Αυτό το άρθρο δημοσιεύθηκε αρχικά στις Η Συνομιλία. Διαβάστε το αρχικό άρθρο.

Σχετικά βιβλία

at InnerSelf Market και Amazon